C語言求自守數

自守數是指一個數的平方的尾數等于該數自身的自然數。例如：

52 = 25 252 = 625 762 = 5776 93762 = 87909376

求100000以內的自守數。
問題分析
根據自守數的定義，求解本題的關鍵是知道當前所求自然數的位數，以及該數平方的尾數與被乘數、乘數之間的關系。
算法設計
若采用“求出一個數的平方后再截取最后相應位數”的方法顯然是不可取的，因為計算機無法表示過大的整數。

分析手工方式下整數平方（乘法）的計算過程，以376為例：




本問題所關心的是積的最后三位。分析產生積的后三位的過程可以看出，在每一次的部分積中，并不是它的每一位都會對積的后三位產生影響。總結規律可以得到：在三位數乘法中，對積的后三位產生影響的部分積分別為：

第一個部分積中：被乘數最后三位×乘數的倒數第一位。
第二個部分積中：被乘數最后二位×乘數的倒數第二位。
第三個部分積中：被乘數最后一位×乘數的倒數第三位。

將以上的部分積的后三位求和后，截取后三位就是三位數乘積的后三位，這樣的規律可以推廣到同樣問題的不同位數乘積中。
分離給定數中的最后幾位
從一個兩位數（存在變量n中）開始分析，分離最低位個位n%10；對于三位數n，分離最后兩位n%100；對于四位數n，分離最后三位n%1000；...，由此可見，若分離出最后x位，只需要用原數對 10x 求余。

從第3部分所舉例子可以看出，對于第二個部分積“2632”來說其實應是“26320”， 因為對于乘數中的倒數第二位“7”來說，因其在十位，對應的權值為10，第二個部分積實質上為：376X70=26320。故求部分積的程序段為：


int main ()
{
    //...
    while(k>0)
    {
        mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - nxuober%(b/10) ) )%a;
        /* (部分積+截取被乘數的后N位*截取乘數的第M位），%a再截取部分積*/
        k /= 10;  /*k為截取被乘數時的系數*/
        b *= 10;
    }
    //...
    return 0;
}
對于整個循環來說，變量k是由number的位數確定截取數字進行乘法時的系數。第1次執行循環體時，被乘數的所有位數都影響到平方的尾數，因此第1個部分積=被乘數*乘數的最后一位，將部分積累加到變量mul上，再對a取余截取相應的尾數位數；第2次執行循環體，影響平方尾數的是被乘數中除了最高位之外的數（所以k先除以10再參加運算），第2個部分積=被乘數*乘數的倒數第二位，( number%b - number%(b/l0) )用來求乘數中影響平方尾數的對應位上的數；第3次、第4次執行循環體的過程同上。

程序流程圖：



下面是完整的代碼：

#include<stdio.h>
int main()
{
    long mul, number, k, a, b;
    printf("It exists following automorphic nmbers small than 100000:\n");
    for( number=0; number<100000; number++ )
    {
        for( mul=number, k=1; (mul/=10)>0; k*=10 );
        /*由number的位數確定截取數字進行乘法時的系數k*/
        a = k * 10;  /*a為截取部分積時的系數*/
        mul = 0;  /*積的最后n位*/
        b = 10;  /*b為截取乘數相應位時的系數*/
        while(k>0)
        {
            mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - number%(b/10) ) )%a;
            /*(部分積+截取被乘數的后N位*截取乘數的第M位)，%a再截取部分積*/
            k /= 10;  /*k為截取被乘數時的系數*/
            b *= 10;
        }
        if(number == mul)  /*判定若為自守數則輸出*/
            printf("%ld   ", number);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}</stdio.h>
運行結果：
It exists following automorphic nmbers small than 100000:
0 1 5 6 25 76 376 625 9376 90625